Здравствуйте.
Действительно, размер алиментов, выплачиваемых в твёрдой денежной сумме (ТДС) может быть пересмотрен как в сторону увеличения так и в сторону уменьшения, по инициативе того, кто эти деньги платит либо того, кому они предназначаются.
Конечно, для этого должны быть веские основания - например, болезнь получателя алиментов, сильная инфляция и т.д.
Насчёт переезда я не уверен, но обратиться в суд вы, конечно, имеете право.