Нет, не пропадает, кроме того согласно ст.124 ТК РФ "Запрещается непредоставление ежегодного оплачиваемого отпуска в течение двух лет подряд, а также непредоставление ежегодного оплачиваемого отпуска работникам в возрасте до восемнадцати лет и работникам, занятым на работах с вредными и (или) опасными условиями труда".
Согласно ст. 127 ТК РФ,
"При увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.
По письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия). При этом днем увольнения считается последний день отпуска".
То, что у работника нет своего экземпляра трудового договора значения не имеет.
Думаю, для начала написать заявление с просьбой выплатить компенсацию за все неиспользованные отпуска, если не выплатят, обращаться в суд.
Хотя судебная практика по данному вопросу не однозначна.