Здравствуйте! Обратиться в суд с исковым заявлением о взыскании недополученного вознаграждения конечно можно, но скорее всего при рассмотрении дела Вы столкнетесь с определенными трудностями.
В соответствии со статьей 161 ГК РФ сделки граждан между собой на сумму, превышающую не менее чем в десять раз установленный законом минимальный размер оплаты труда, а в случаях, предусмотренных законом, - независимо от суммы сделки должны совершаться в простой письменной форме, за исключением сделок, требующих нотариального удостоверения.
В вашем случае вы заключили договор подряда в устной форме. Если сделка была совершена на сумму свыше 1000 рублей, то требовалось ее письменной оформление.
Свидетельские показания в качестве подтверждения заключения данного договора не пойдут, поскольку в соответствии со статьей 162 ГК РФ несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает права приводить письменные и другие доказательства.
P.S. в качестве подтверждения заключения сделки Вы можете попытаться доказать факт заключения сделки другими доказательствами.