Да, можете. Основание п.1 ст. 365 ГК РФ.
"К поручителю, исполнившему обязательство, переходят права кредитора по этому обязательству и права, принадлежавшие кредитору как залогодержателю, в том объеме, в котором поручитель удовлетворил требование кредитора. Поручитель также вправе требовать от должника уплаты процентов на сумму, выплаченную кредитору, и возмещения иных убытков, понесенных в связи с ответственностью за должника".
Если будете гасить долг, то после погашения Вам нужно будет взять у банка подтверждающие документы о погашении кредита.