Добрый день. Обычно в подобных договорах условия о сроке прописаны следующим образом: «Договор заключен на срок до 31.12.2015. Если ни одна из сторон не заявит о расторжении, договор считается продлённым на следующий год». Кроме того, между вами не был подписан акт сдачи-приёмки после окончания найма. Этот факт также можно использовать при рассмотрении дела в суде. Кроме того, если в договоре срок не прописан, в соответствии со ст. 683 ГК РФ, «Договор найма жилого помещения заключается на срок, не превышающий пяти лет. Если в договоре срок не определен, договор считается заключенным на пять лет».
Шансы выиграть дело, безусловно есть. В суде вам необходимо подтвердить оплату за проживание, которая вносилась за пределами срока договора, а также факт проживания ответчика после окончания срока договора. Также, вы можете рассчитывать на то, что ответчик, испугавшись судебного иска, сознается в проживании и оплатит вам стоимость найма.