Добрый вечер. Не важно, зарегистрирован ли мопед, или нет на кого-то. Вам на месте необходимо было оформить ДТП в официальном порядке с работниками дорожной полиции. Далее суд признает водителя виновным в суде, на основании чего Вы через юриста составляет и подаете в отношении того водителя гражданский иск на возмещение материального вреда.