во время испытательного срока работодатель должен оплачивать больничный
Да, потому что трудовой договор должны были оформить сразу при приеме на работу. Это не зависит от установления срока испытания.
В настоящий момент у вас фактический допуск к работе с нарушением со стороны работодателя трудового законодательства.
Поэтому если случится факт нетрудоспособности, боюсь, работодатель откажет вам в оплате листка нетрудоспособности, т.к. он с нарушением закона не оформил вас изначально, а стало быть, не перечисляет взносы в бюджет.
Как вариант, РД, не оформляющие ТД сразу, не оплачивают больничный, но платят "заработную плату", как если бы работник работал. Но это также незаконно и не факт, что ваш РД поступит также.
Вам придется доказывать факт работы, размер з.п. и право на получение пособия по нетрудоспособности. Поэтому, если настроены, собирайте доказательства работы сейчас.