Как избавить ребенка от обязательства опекать отца?

Бывший муж уклонялся от уплаты алиментов долгое время. Занимается незарегистрированной предпринимательской деятельностью. После обращения в суд стал выплачивать мизерную сумму (фиктивная справка о доходах). Может ли он в будущем, предъявив в суде доказательство содержания дочери, потребовать опекать его? Как защитить ребенка от подобного, отказаться от алиментов?

Да, конечно может.
Нет такой процедуры, да и если бы была, она ничего не дала бы.
В соответствии с п.5 ст. 87 Семейного кодекса РФ:
Дети могут быть освобождены от обязанности по содержанию своих нетрудоспособных нуждающихся в помощи родителей, если судом будет установлено, что родители уклонялись от выполнения обязанностей родителей.
Дети освобождаются от уплаты алиментов родителям, лишенным родительских прав.

Исчерпывающий перечень оснований для лишения родительских прав предусмотрен ст. 69 Семейного кодекса РФ

В общем, то, что Вами описано, не дает оснований рассчитывать на освобождение от обязанности содержать отца. Единственное, можно будет, к примеру, пользуясь его же методами, занижать доходы, пр. и предоставлять ему пропорциональное содержание.